Question

8．已知兩個二次函數y₁=x²+bx+c和y₂=x²+m．對于函數y₁，當x=2時，該函數取最小值．
（1）求b的值；
（2）若函數y₁的圖象與坐標軸只有2個不同的公共點，求這兩個公共點間的距離；
（3）若函數y₁、y₂的圖象都經過點（1，-2），過點（0，a-3）（a為實數）作x軸的平行線，與函數y₁、y₂的圖象共有4個不同的交點，這4個交點的橫坐標分別是x₁、x₂、x₃、x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，求x₄-x₃+x₂-x₁的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于題意知x=2時，該函數取得最小值，所以x=2時該函數y₁的對稱軸；
（2）若函數y₁的圖象與坐標軸只有2個不同的公共點，則分為兩種情況討論，一種是拋物線與x軸有兩個交點時，另一種是拋物線與x軸有1個交點，然后分別求出C的值即可；
（3）函數y₁與y₂經過（1，-2），所以可求出c與m的值，根據函數解析式畫出圖象可知，若過點（0，a-3）（a為實數）作x軸的平行線，與函數y₁、y₂的圖象共有4個不同的交點時，則-3＜a-3＜-2或a-3＞-2．

解答 解：（1）由題意知：函數y₁的對稱軸為x=2，
∴-$\frac{b}{2}$=2，
∴b=-4，

（2）由題意知：△=b²-4c=16-4c，
當△＞0時，
∴c＜4，
此時函數y₁與x軸有兩個不同的交點，
由于若函數y₁的圖象與坐標軸只有2個不同的公共點，
∴c=0，
∴y₁=x²-4x，
令y₁=0，
∴x=0或x=4，
∴兩個公共點間的距離為4，
當△=0時，
∴c=4，
此時拋物線與x軸只有一個交點，與y軸只有一個交點，
∴兩個公共點間的距離，由勾股定理可求得：$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，

（3）∵函數y₁、y₂的圖象都經過點（1，-2），
∴將（1，-2）代入函數y₁和函數y₂，
∴-2=1-4+c，
-2=1+m，
∴c=1，m=-3，
∴函數y₁=x²-4x+1，函數y₂=x²-3，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+1}\\{y={x}^{2}-3}\end{array}\right.$
解得：x=1，y=-2，
∵過點（0，a-3）作x軸的平行線，與函數y₁、y₂的圖象共有4個不同的交點，
∴-3＜a-3＜-2或a-3＞-2
當-3＜a-3＜-2時，如圖1，
即0＜a＜1，
令y=a-3代入y₁，
∴x²-4x+4-a=0，
∴x₃=2-$\sqrt{a}$，x₄=2+$\sqrt{a}$，
令y=a-3代入y₂，
a-3=x₂-3，
∴x₁=-$\sqrt{a}$，x₂=$\sqrt{a}$，
∴x₄-x₃+x₂-x₁=4$\sqrt{a}$，
∵0＜a＜1，
∴0＜4$\sqrt{a}$＜4，
當a-3＞-2，如圖2，
即a＞1，
令y=a-3代入y₁，
∴x²-4x+4-a=0，
∴x₂=2-$\sqrt{a}$，x₄=2+$\sqrt{a}$，
令y=a-3代入y₂，
a-3=x₂-3，
∴x₁=-$\sqrt{a}$，x₃=$\sqrt{a}$，
∴x₄-x₃+x₂-x₁=4，
綜上所述，過點（0，a-3）（a為實數）作x軸的平行線，與函數y₁、y₂的圖象共有4個不同的交點時，x₄-x₃+x₂-x₁的最大值為4．

點評 本題考查函數的綜合問題，涉及待定系數法求解析式，二次函數圖象的性質，一元二次方程的解法和數形結合的思想，綜合程度較高，需要學生利用數形結合的思想解決問題．