Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知點(diǎn)A在x軸的正半軸上，且與原點(diǎn)的距離為3，拋物線y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A，其頂點(diǎn)為C，直線y＝1與y軸交于點(diǎn)B，與拋物線交于點(diǎn)D（在其對(duì)稱軸右側(cè)），聯(lián)結(jié)BC、CD．

（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是y軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，如果△PBC與△BCD相似，且相似比不為1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將∠CBD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使射線BC經(jīng)過點(diǎn)A，另一邊與拋物線交于點(diǎn)E（點(diǎn)E在對(duì)稱軸的右側(cè)），求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，C（2，﹣1）；（2）P（0，4﹣7）；（3）E（4，3）

【解析】

（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中可得：a的值，從而得拋物線的解析式，配方得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不為1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的長(zhǎng)，從而得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）連接AC，過E作EH⊥BD于H，先根據(jù)勾股定理的逆定理證明△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函數(shù)得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝ ，設(shè)EH＝m，則BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入拋物線的解析式，可得結(jié)論．

解：（1）∵點(diǎn)A在x軸的正半軸上，且與原點(diǎn)的距離為3，

∴A（3，0），

把A（3，0）代入拋物線y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，

∴a＝1，

∴拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3，

y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴C（2，﹣1）；

（2）當(dāng)y＝1時(shí)，x2﹣4x+3＝1，

解得：x1＝2﹣，x2＝2+，

由題意得：D（2+，1），

∵B（0，1），C（2，﹣1），

∴BC＝＝2，BD＝2+，

∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不為1，

只能△CBP∽△DBC，

∴，即，

∴BP＝8﹣4，

∴P（0，4﹣7）；

（3）連接AC，過E作EH⊥BD于H，

由旋轉(zhuǎn)得：∠CBD＝∠ABE，

∴∠EBD＝∠ABC，

∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝4，AC2＝12+12＝2，

∴AB2＝BC2+AC2，

∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，

∴tan∠ABC＝＝，

∴tan∠EBD＝＝，

設(shè)EH＝m，則BH＝2m，

∴E（2m，m+1），

∵點(diǎn)E在拋物線上，

∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，

4m2﹣9m+2＝0，

解得：m1＝2，m2＝（舍），

∴E（4，3）．