Question

已知拋物線y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的最低點A的縱坐標是3，直線y=mx+b經過點A，與y軸交于點B，與x軸交于點C．
（1）求拋物線與直線AB的解析式．
（2）將直線AB繞點O順時針旋轉90°，與x軸交于點D，與y軸交于點E，求sin∠BDE的值．
（3）過B點作x軸的平行線BG，點M在直線BG上，且到拋物線的對稱軸的距離為6，設點N在直線BG上，請你直接寫出使得∠AMB+∠ANB=45°的點N的坐標．

Answer 1

解：（1）∵y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的，
∴拋物線的對稱軸x=-=1．
∵拋物線y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的最低點A的縱坐標是3
∴拋物線的頂點為A（1，3）
∴m2-5m+6=0，
∴m=3或m=2，
∵3-m＞0，
∴m＜3
∴m=2，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x+4，
直線為y=2x+b．
∵直線y=mx+b經過點A（1，3）
∴3=2+b，
∴b=1．
∴直線AB為：y=2x+1；

（2）令x=0，則y=1，）令y=0，則x=-，
∴B（0，1），C（-，0）
將直線AB繞O點順時針旋轉90⁰，設DE與BC交于點F
∴D（1，0），E（0，），∠CFD=90°，
∴OB=OD=1 OC=，∴CD=
在Rt△BOC中，由勾股定理，得
CB=，BD=．
∵CD•OB=CB•DF，
∴DF=，
∴由勾股定理，得
BF=，
∴Sin∠BDE===；

（3）如圖2，在BG上取一點Q，使AP=QP，
∴∠AQP=45°．
∴∠ANB+∠QAN=∠QAM+∠AMB=45°．
∵∠AMB+∠ANB=45°，
∴∠ANB=∠QAM，
∴△AQN∽△MQA，
∴．
∵AD=3，OD=1，
∴AP=QP=2，
∴QM=4，AQ=2，
∵MP=6，
∴MQ=4．
∴，
∴QN=2，
∴BN=5．
∴N（5，1）；
如圖3，在BG上取一點Q，使AP=QP，
∴∠AQP=45°．
∴∠ANB+∠AMB=∠QAM+∠AMB=45°．
∴∠ANB=∠QAM，
∴△AQM∽△NAM，
∴．
∵AD=3，OD=1，
∴AP=QP=2，
∴QM=4，BM=7，AQ=2，
∵MP=6，
∴MQ=4．AM=2，
∴，
∴MN=10，
∴BN=3．
∴N（-3，1）；
∴N（-3，1）或（5，1）．
分析：（1）先由y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²可以求出拋物線的對稱軸，就可以求出頂點坐標，代入解析式就可以求出m的值，將A的坐標及m的值代入一次函數的解析式就可以求出結論；
（2）根據旋轉的性質就可以求出D、E的坐標，由勾股定理就可以求出BD，DE、DF的值根據求銳角三角函數的方法就可以求出結論；
（3）根據題意畫出圖形，分情況討論運用相似三角形的性質就可以求出結論．
點評：本題考查了運用拋物線的頂點式求頂點坐標的運，運用待定系數法求出二次函數與一次函數的解析式的運用，旋轉的性質的運用，相似三角形的判定及性質的運用，解答時尋找解答本題的突破口從拋物線的頂點入手，求N的坐標運用相似三角形的性質是關鍵．