Question

如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，BC的延長線與⊙O的切線AF交于點F．

（1）求證：∠ABC=2∠CAF；

（2）若AC=，CE：EB=1：4，求CE，AF的長．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）CE=2，AF=．

【解析】

試題分析：（1）連接BD，由直徑所對的圓周角是90°，得到BD⊥AC，由AB=BC，得到BD平分∠ABC，再由切線的性質，可以得出結論；

（2）連接AE，設CE= x，則EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x．在Rt△ACE中，根據勾股定理可以算出x的值，根據，即可算出AF的長．

試題解析：（1）證明：如圖，連接BD．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵AF是⊙O的切線，∴∠FAB=90°．即∠DAB +∠CAF =90°．∴∠CAF=∠ABD．∵BA=BC，∠ADB=90°，∴∠ABC=2∠ABD．∴∠ABC=2∠CAF．

（2）【解析】
如圖，連接AE．∴∠AEB=90°．設CE= x，∵CE：EB=1：4，∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x．在Rt△ACE中，．即．∴x =2．∴CE=2．∴EB=8，BA=BC=10，AE=6．∵．∴．∴AF=．

考點：1．切線的判定；2．勾股定理．