Question

已知：如圖AC∥BD，AE和BE分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E．
求證：（1）AE⊥BE；     （2）AB=AC+BD．

Answer 1

分析：（1）首先證明∠CAB+∠DBA=180°，再利用角平分線的性質(zhì)證明∠EAB=

1

2

∠CAB，∠EBA=

1

2

∠DBA，可得到∠EAB+∠EBA=90°，進(jìn)而可證出AE⊥BE；
（2）首先在AB上截取AF=AC，連接EF，證明△CAE≌△FAE，可證出∠CEA=∠FEA，可得到∠FEB=∠DEB，再證明△DEB≌△FEB，可得到BD=BF，即可證出AB=AC+BD．

解答：證明：（1）∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠DBA=180°（1分）
又∵AE和BE分別平分∠CAB和∠DBA，
∴∠EAB=

1

2

∠CAB，∠EBA=

1

2

∠DBA，
∴∠EAB+∠EBA=

1

2

(∠CAB+∠DBA)=90°，
∴AE⊥BE       （4分）

（2）在AB上截取AF=AC，連接EF，
在△CAE和△FAE中

AC=AF ∠CAE=∠FAE AE=AE

，
∴△CAE≌△FAE，
則∠CEA=∠FEA，（8分）
又∠CEA+∠BED=∠FEA+∠FEB=90°，
∴∠FEB=∠DEB，
∵BE平分∠DBA，
∴∠DBE=∠FBE，
在△DEB和△FEB中

∠DEB=∠FEB EB=EB ∠DBE=∠FBE

，
∴△DEB≌△FEB（ASA），（10分）
∴BD=BF，又∵AF=AC，
∴AB=AF+FB=AC+BD．  （12分）

點評：此題主要考查了垂直，角平分線，以及三角形全等的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是證明線段和角相等的重要手段．