Question

已知：如圖，BD、CE都是△ABC的高．F是BD上一點，G是CE延長線上一點，∠FAB=∠G．
（1）若∠FAD=∠FBC，試說明AG∥BC；
（2）若BF=AC，試探索線段AF和AG的關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據已知條件求證出關于直線AG，BC的內錯角∠G=∠ECB，則滿足AG∥BC的條件；
（2）根據平行線的性質和已知條件求證出△BAF≌△CGA，則得到AF=AG，然后通過等量代換求出∠GAF=90°所以AG⊥AF．

解答：解：（1）設BD、CE交于O，
∵BD、CE是高，
∴∠BEO=∠CDO=90°，
∴∠BOE+∠EBO=∠COD+∠OCD=90°，
∵∠BOE=∠COD，
∴∠EBO=∠OCD，
∵∠EBO+∠FBC+∠ECB=90°，
∠FAD+∠BAF+∠OCD=90°，
∵∠FAD=∠FBC，
∴∠ECB=∠BAF，
∵∠BAF=∠G，
∴∠G=∠ECB，
∴AG∥BC；

（2）AF⊥AG，AF=AG．
∵在△BAF和△CGA中，

∠ABF=∠GCA ∠BAF=∠G BF=AC

，
∴△BAF≌△CGA（AAS），
∴AF=AG，
在Rt△AGE中，
∵∠AEG=90°，
∴∠G+∠GAE=90°，
∵∠G=∠BAF，
∴∠GAE+∠BAF=90°，
即∠GAF=90°，
∴AG⊥AF．

點評：本題綜合考查了平行線的性質，平行線的判定條件，全等三角形的判定條件，以及垂直定理；做題時要熟練應用這些知識．