Question

如圖，點C是⊙O的直徑AB延長線上的一點，且有BO=BD=BC．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若半徑OB=2，求AD的長．

Answer 1

【考點】切線的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理．

【專題】證明題．

【分析】（1）由于BO=BD=BC，即DB為△ODC的邊OC的中線，且有DB=OC，則∠ODC=90°，然后根據切線的判定方法即可得到結論；

（2）由AB為⊙O的直徑得∠BDA=90°，而BO=BD=2，則AB=2BD=4，然后根據勾股定理可計算出AD．

【解答】（1）證明：連結OD，如圖，

∵BO=BD=BC，

∴BD為△ODC的中線，且DB=OC，

∴∠ODC=90°，

∴OD⊥CD，

而OD為⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠BDA=90°，

∵BO=BD=2，

∴AB=2BD=4，

∴AD==2．

【點評】本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點且與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了直角三角形的判定方法、勾股定理．