Question

3．如圖，延長平行四邊形ABCD的邊DC到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F，連接AC、BE．
（1）求證：BF=CF；
（2）若AB=2，AD=4，且∠AFC=2∠D，求平行四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的性質得到AB∥CD，AB=CD，然后根據CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”判斷即可；
（2）由（1）得的結論先證得四邊形ABEC是平行四邊形，通過角的關系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得出四邊形ABEC是矩形，得出∠BAC=90°，由勾股定理求出AC，即可得出平行四邊形ABCD的面積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，BC=AD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴BF=CF；
（2）解：∵由（1）知，四邊形ABEC是平行四邊形，
∴FA=FE，FB=FC．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC．
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四邊形ABEC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵BC=AD=4，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴平行四邊形ABCD的面積=AB•AC=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

點評 此題考查的知識點是平行四邊形的判定與性質及矩形的判定，關鍵是先由平行四邊形的性質證三角形全等，然后推出平行四邊形通過角的關系證矩形．