Question

如圖：已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，P是⊙O₁上一點，PB的延長線交⊙O₂于點C，PA交⊙O₂于點D，CD的延長線交⊙O₁于點N．
（1）過點A作AE∥CN交⊙O₁于點E，求證：PA=PE；
（2）連接PN，若PB=4，BC=2，求PN的長．

Answer 1

分析：（1）連接AB，根據平行線的性質和圓周角定理的推論，得到∠PAE=∠ADC=∠ABC；
再根據圓內接四邊形的性質，得到∠ABC=∠E，從而得到∠PAE=∠E，進一步得到PA=PE；
（2）根據兩個角對應相等，易證明△PDN∽△PNA，得到PN²=PD•PA，再結合割線定理進一步求解．

解答：（1）證明：連接AB．
∵四邊形AEPB是⊙O₁的內接四邊形，
∴∠ABC=∠E．
在⊙O₂中，∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC=∠E．
又∵AE∥CN，
∴∠ADC=∠PAE．
故∠PAE=∠E．
∴PA=PE．

（2）解：連接AN、PN．
∵四邊形ANPB是⊙O₁的內接四邊形，
∴∠ABC=∠PNA．
由（1）可知，∠PDN=∠ADC=∠ABC．
∴∠PDN=∠PNA．
又∠DPN=∠NPA，
∴△PDN∽△PNA．
∴PN²=PD•PA．
又∵PD•PA=PB•PC，
∴PN=

PB•PC

=

4×(4+2)

=2

6

．

點評：連接公共弦，是相交兩圓常見的輔助線之一．綜合運用圓周角定理的推論、圓內接四邊形的性質、相似三角形的性質和判定．