Question

如圖，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在線段AB上取一點D，作DF⊥AB交AC于點F，現將△ADF沿DF折疊，使點A落在線段DB上，對應點記為A₁；AD的中點E的對應點記為E₁，若△E₁FA₁∽△E₁BF，則AD=    ．

Answer 1

【答案】分析：利用勾股定理列式求出AC，設AD=2x，得到AE=DE=DE₁=A₁E₁=x，然后求出BE₁，再利用相似三角形對應邊成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E₁F，然后根據相似三角形對應邊成比例列式求解得到x的值，從而可得AD的值．
解答：解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC===8，
設AD=2x，
∵點E為AD的中點，將△ADF沿DF折疊，點A對應點記為A₁，點E的對應點為E₁，
∴AE=DE=DE₁=A₁E₁=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴=，
即=，
解得DF=x，
在Rt△DE₁F中，E₁F===，
又∵BE₁=AB-AE₁=10-3x，△E₁FA₁∽△E₁BF，
∴=，
∴E₁F²=A₁E₁•BE₁，
即（）²=x（10-3x），
解得x=，
∴AD的長為2×=．
故答案為：．
點評：本題考查了相似三角形的性質，主要利用了翻折變換的性質，勾股定理，相似三角形對應邊成比例，綜合題，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．