Question

如圖，直角三角形ABC中，∠C=90°，P，E分別是邊AB，BC上的點，D為△ABC外一點，DE⊥BC，DE=EC，BE=2EC，∠BDE=∠PEC，AD∥PE，AC=4，則線段BC的長為

12

．

Answer 1

分析：作DF⊥AC，交AC的延長線于F點，易證得四邊形CECF為矩形，由DE=EC，可判斷四邊形CECF為正方形，則DE=DF；再利用PE∥AD，EC∥DF得∠1=∠PEC，∠1=∠2，則∠2=∠PEC，而∠BDE=∠PEC，代換后得∠BDE=∠2，然后根據“AAS”判斷△BDE≌△ADF，于是BE=AF，即2DE=AC+DF=AC+DE，可計算出DE=4，最后利用BC=3DE計算計算即可．

解答：解：作DF⊥AC，交AC的延長線于F點，如圖，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠BED=90°，
而∠ACB=90°，
∴四邊形CECF為矩形，
∵DE=EC，
∴四邊形CECF為正方形，
∴DE=DF，
∵PE∥AD，EC∥DF，
∴∠1=∠PEC，∠1=∠2，
∴∠2=∠PEC，
∵∠BDE=∠PEC，
∴∠BDE=∠2，
在△BDE和△ADF中，

∠BED=∠F ∠BDE=∠2 DE=DF

，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，
∵BE=2DE，
∴2DE=AC+CF，
∴DE=AC=4，
∴BC=BE+EC=3DE=12．
故答案為12．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了正方形的判定與性質．