Question

（9分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形內一點，且∠APB=∠APC=135°．

（1）求證：△CPA∽△APB；

（2）試求tan∠PCB的值．

Answer 1

（1）見解析 （2）2.

【解析】

試題分析：（1）根據∠PBA+∠PAB=45°和∠PAC+∠PAB=45°得出∠PAC=∠PBA，再根據已知條件∠APB=∠APC得出三角形相似；（2）根據等腰直角三角形的性質得出CA和AB的比值，設CP=k，則PB=2k，然后根據∠BPC=90°求出∠PCB的正切值.

試題解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，

又在△APB中，∠APB=135°， ∴∠PBA+∠PAB=45°， ∴∠PAC=∠PBA，

又∠APB=∠APC， ∴△CPA∽△APB．

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴， 又∵△CPA∽△APB， ∴，

令CP=k，則，

又在△BCP中，∠BPC=360°﹣∠APC﹣∠APB=90°， ∴．

考點：三角形相似的判定、銳角三角函數的計算.