Question

如圖，一元二次方程x²-2x-3=0的兩根x₁，x₂是拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個交點A、B的橫坐標，此拋物線與y軸的正半軸交于點C．
（1）求A、B兩點的坐標，并寫出拋物線的對稱軸；
（2）設點B關于點A的對稱點為B′．問：是否存在△BCB′為等腰三角形的情形？若存在，請求出所有滿足條件c的值；若不存在，請直接作否定的判斷，不必說明理由．

Answer 1

分析：（1）易得一元二次方程的兩根，那么就得到了A、B兩點的坐標，拋物線的對稱軸為兩個交點橫坐標的和的一半；
（2）注意兩條邊相等應分情況探討．

解答：解：（1）∵解一元二次方程x²-2x-3=0的兩根x₁=-1，x₂=3，
∴A點坐標為（-1，0），B點坐標為（3，0），
拋物線的對稱軸x=1；

（2）由已知得B′（-5，0），C（0，c）且C為y軸上的點，B′O＞BO，則不可能有
CB′=CB的情形；
若BB′=BC，則有8=

32+c2

，則c=

55

或-

55

（舍去），∴c=

55

；
若BB′=B′C，則有8=

52+c2

，則c=

39

或-

39

（舍去），∴c=

39

，
∴存在滿足上述條件的點．

點評：主要考查二次函數與一元二次方程的關系和構成三角形的判定法．