Question

如圖，一元二次方程x²+2x-3=0的二根x₁，x₂（x₁＜x₂）是拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個交點B，C的橫坐標，且此拋物線過點A（3，6）．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）設此拋物線的頂點為P，對稱軸與線段AC相交于點Q，求點P和點Q的坐標；
（3）在x軸上有一動點M，當MQ+MA取得最小值時，求M點的坐標．

Answer 1

分析：（1）先求出一元二次方程的兩個根，即可知與x軸的兩個交點B，C的坐標，設出兩點式，用待定系數法求出二次函數的解析式；
（2）根據B，C兩點的坐標可求出二次函數的頂點坐標及對稱軸方程，根據A，C兩點的坐標可求出線段AC所在直線的表達式，求出兩方程的交點即為Q點的坐標；
（3）根據兩點之間線段最短，故當此三點在同一條直線上時MQ+MA取得最小值，作A關于x軸的對稱點A′，連接A′Q；A′Q與x軸交于點M即為所求的點．

解答：解：（1）解方程x²+2x-3=0
得x₁=-3，x₂=1（11分）
∴拋物線與x軸的兩個交點坐標為：C（-3，0），B（1，0）（2分）
設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1）（a≠0）．（3分）
∵A（3，6）在拋物線上
∴6=a（3+3）（3-1），
∴a=

1

2

．（4分）
∴拋物線解析式為：y=

1

2

x²+x-

3

2

（5分）．

（2）由y=

1

2

x²+x-

3

2

=

1

2

（x+1）²-2（6分）
∴拋物線頂點P的坐標為：（-1，-2），對稱軸方程為：x=-1．（7分）
設直線AC的方程為：y=k₁x+b₁．
∵A（3，6），C（-3，0），
∴在該直線上

3k1+b1=6 -3k1+b1=0

，
解得

b1=3 k1=1

直線AC的方程為：y=x+3（9分）
將x=-1代入y=x+3得y=2，
∴Q點坐標為（-1，2）．（10分）

（3）作A關于x軸的對稱點A′（3，-6），
連接A'Q；A'Q與x軸交于點M即為所求的點（11分）
設直線A'Q方程為y=kx+b
∴

3k+b=-6 -k+b=2

解得

b=0 k=-2

．
∴直線A'Q：y=-2x（12分）
令x=0，則y=0（13分）．
∴M點坐標為（0，0）．（14分）

點評：本題綜合考查了一元二次方程與二次函數的關系，及用待定系數法求一次函數與二次函數的解析式，比較復雜．