Question

如圖，一元二次方程x²+2x-3=0的兩根x₁，x₂（x₁＜x₂）是拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個交點C，B的橫坐標，且此拋物線過點A（3，6）．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）設此拋物線的頂點為P，對稱軸與線段AC相交于點G，則P點坐標為

 

，G點坐標為

 

；
（3）在x軸上有一動點M，當MG+MA取得最小值時，求點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）可先根據一元二次方程求出x₁，x₂的坐標，也就求出了B，C兩點的坐標，然后可用交點式的二次函數通式來設二次函數的解析式，根據已知的A點的坐標求出二次函數的解析式．
（2）根據（1）二次函數解析式可得出頂點P的坐標和對稱軸的解析式，G點就是直線AC與拋物線對稱軸的交點，可先根據A，C的坐標，用待定系數法求出AC所在直線的解析式，然后將P點的橫坐標代入求得的一次函數的解析式中即可求出G的坐標．
（3）本題的關鍵是先確定M點的位置，可先做A關于x軸的對稱點A′然后連接A′C，與x軸的交點就是點M，那么可根據A′，C兩點的坐標求出A′C所在直線的解析式，又已知了M在x軸上即可求出M點的坐標．

解答：解：（1）解方程x²+2x-3=0
得x₁=-3，x₂=1．
∴拋物線與x軸的兩個交點坐標為：C（-3，0），B（1，0），
設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1）．
∵A（3，6）在拋物線上，
∴6=a（3+3）•（3-1），
∴a=

1

2

，
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²+x-

3

2

．

（2）由y=

1

2

x²+x-

3

2

=

1

2

（x+1）²-2，
∴拋物線頂點P的坐標為（-1，-2），對稱軸方程為x=-1．
設直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（3，6），C（-3，0）在該直線上，
∴

3k+b=6 -3k+b=0

解得

b=3 k=1

，
∴直線AC的解析式為：y=x+3．
將x=-1代入y=x+3
得y=2，
∴G點坐標為（-1，2）．

（3）作A關于x軸的對稱點A′（3，-6），
連接A′G，A′G與x軸交于點M即為所求的點．
設直線A′G的解析式為y=kx+b．
∴

3k+b=-6 -k+b=2

解得

b=0 k=-2

，
∴直線A′G的解析式為y=-2x，令x=0，則y=0．
∴M點坐標為（0，0）．

點評：本題主要考查了用待定系數法求一次函數與二次函數解析式的方法．
（3）中先確定M點的位置是解題的關鍵．