Question

已知一次函數y=ax+b的圖象上有兩點A、B，它們的橫坐標分別是3，-1，若二次函數y=

1

3

x²的圖象經過A、B兩點．
（1）請求出一次函數的表達式；
（2）設二次函數的頂點為C，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）將A、B的橫坐標代入拋物線的解析式中，即可求得A、B的坐標，然后將它們代入直線的解析式中，即可求得待定系數的值．
（2）根據拋物線的解析式不難得出其頂點實際是原點O，由于三角形OAB的面積無法直接求出，可將其化為其他圖形面積的和差來求．設直線AB與x軸的交點為D，那么可用三角形ADO的面積減去三角形OBD的面積來求出三角形OAB的面積．可先根據直線AB的解析式求出D點坐標，然后根據上面分析的三角形ABO的面積計算方法進行求解即可．

解答：解：（1）設A點坐標為（3，m）；B點坐標為（-1，n）．
∵A、B兩點在y=

1

3

x²的圖象上，
∴m=

1

3

×9=3，
n=

1

3

×1=

1

3

．
∴A（3，3），B（-1，

1

3

）．
∵A、B兩點又在y=ax+b的圖象上，
∴

3=3a+b 1 3 =-a+b

．
解得

a= 2 3 b=1

．
∴一次函數的表達式是y=

2

3

x+1．

（2）如下圖，
設直線AB與x軸的交點為D，則D點坐標為（-

3

2

，0）．
∴|DC|=

3

2

．
S_△ABC=S_△ADC-S_△BDC
=

1

2

×

3

2

×3-

1

2

×

3

2

×

1

3

=

9

4

-

1

4

=2．

點評：本題考查了一次函數解析式的確定、圖形面積的求法等知識，不規(guī)則圖形的面積通常轉化為規(guī)則圖形的面積的和差．