Question

如圖所示，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，AE與BD與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC，FG，其中正確結論的個數是（　　）
①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：根據題意，結合圖形，對選項一一求證，判定正確選項．

解答：解：
（1）△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD=120°，
在△BCD和△ACE中
∵

AC=BC ∠BCD=∠ACE CD=CE

，
∴△BCD≌△ACE
∴AE=BD，故結論①正確；
（2）∵△BCD≌△ECA，
∴∠GAC=∠FBC，
又∵∠ACG=∠BCF=60°，AC=BC
∴△ACG≌△BCF，
∴AG=BF，故結論②正確；
（3）∠DCE=∠ABC=60°，∴DC∥AB，∴

DF

BF

=

DC

AB

，
∵∠ACB=∠DEC=60°，∴DE∥AC，∴

DG

CG

=

DE

AC

=

DC

AB

，
∴

DF

BF

=

DG

CG

，∴FG∥BE，故結論③正確；
（4）
過C作CN⊥AE于N，CZ⊥BD于Z，
則∠CNE=∠CZD=90°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CDZ=∠CEN，
在△CDZ和△CEN中
∵

∠CZD=∠CNE ∠CDZ=∠CEN CD=CE

，
∴△CDZ≌△CEN，
∴CZ=CN，
∵CN⊥AE，CZ⊥BD，
∴∠BOC=∠EOC，故結論④正確．
綜上所述，四個結論均正確，故本題選D．

點評：本題綜合考查了全等、圓、相似、特殊三角形等重要幾何知識點，有一定難度，需要學生將相關知識點融會貫通，綜合運用．