Question

18．如圖1，已知矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD，AB分別在x軸，y軸上，且AD=2，AB=3，拋物線y=-x²+bx+c經過坐標原點O和x軸上另一點E（4，0）．

（1）求該拋物線的解析式，并求當x取何值時，該拋物線有最大值，這個最大值是多少？
（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從A點出發向沿射線AB勻速移動，設它們運動的時間為t秒（t＞0），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）．
①若拋物線y=-x²+bx+c經過矩形BC邊的中點，求t的值；
②在運動過程中，當以P、N、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，P點坐標為（t，t）（用含t的式子表示），并求此時t的值．

Answer 1

分析 （1）由O、E的坐標可求得b、c的值，可求得拋物線解析式，再利用二次函數的性質可求得其最大值；
（2）①由題意可設BC的中點為F，則F點坐標為（t-1，3），代入拋物線解析式可求得t的值；②由平行四邊形的性質可知PN=CD=3，用t可分別表示出P、N的坐標，再由PN的長度可求得t的值．

解答 解：
（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經過坐標原點O和x軸上另一點E（4，0），
∴c=0，b=4，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴當x=2時，拋物線有最大值，最大值為4；
（2）①設BC的中點為F，則F（t-1，3），
當拋物線過F點時，則有3=-（t-1）²+4（t-1），解得t=2或t=4，
即當t的值為2或4時，拋物線經過矩形BC邊的中點；
②∵矩形ABCD，PN∥CD，
∴當點P運動到PN=CD=3時，四邊形PNCD為平行四邊形，
∵點A在x軸的非負軸上，且N在拋物線上，
∴OA=AP=t，
∴P（t，t），N（t，-t²+4t），
當0≤t≤3時，PN=-t²+4t-t=-t²+3t，由-t²+3t=3可知該方程無實數根，
當t＞3時，PN=t-（-t²+4t）=t²-3t，由t²-3t=3解得t=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或t=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$＜0（不合題意，舍去），
故答案為：（t，t）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，主要涉及待定系數法、二次函數的性質、矩形的性質、平行四邊形的性質及方程思想等知識．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）①中，用t表示出F點的坐標是解題的關鍵，在（2）②中由平行四邊形的性質得到PN的長是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．