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平面直角坐標系中,點A、B、C在x軸上,點D、E在y軸上,OA=OD=2,OC=OE=4,B為線段OA的中點,直線AD與經過B、E、C三點的拋物線交于F、G兩點,與其對稱軸交于M,點P為線段FG上一個動點(與F、G不重合),PQ∥y軸與拋物線交于點Q。

1.求經過B、E、C三點的拋物線的解析式;

2.判斷⊿BDC的形狀,并給出證明;當P在什么位置時,以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形,并求出此時點P的坐標

3.若拋物線的頂點為N,連接QN,探究四邊形PMNQ的形狀:①能否成為菱形;②能否成為等腰梯形?若能,請直接寫出點P的坐標;若不能,請說明理由。

 

【答案】

 

1.B(-1,0) E(0,4) C(4,0)   設解析式是

可得     解得   (2分)  ∴

2.⊿BDC是直角三角形        (1分)

∵BD2=BO2+DO2=5 , DC2=DO2+CO2=20 ,BC2=(BO+CO)2=25

∴BD2+ DC2= BC2                  (1分)

 ∴⊿BDC是Rt⊿

點A坐標是(-2,0),點D坐標是(0,2)直線AD的解析式是 (1分)

設點P坐標是(x,x+2)

當OP=OC時 x2+(x+2)2=16 解得 (不符合,舍去)此時點P(

當PC=OC時 方程無解

當PO=PC時,點P在OC的中垂線上,∴點P橫坐標是2, 得點P坐標是(2,4)

∴當⊿POC是等腰三角形時,點P坐標是()或(2,4) (2分)

(1)   3.點M坐標是()N坐標是()∴MN=

設點P 為(x,x+2)Q(x,-x2+3x+4),則PQ=

①若PQNM是菱形,則PQ=MN,可得x1=0.5 x2=1.5

當x2=1.5時,點P與點M重合;當x1=0.5時,可求得PM=,所以菱形不存在(2分)

②能成為等腰梯形,此時點P的坐標是(2.5,4.5)(2分)

 【解析】略

 

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