Question

【題目】在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線經過點和.

（1）求該拋物線的解析式及頂點坐標；

（2）把該拋物線向 （填“上”或“下”）平移 個單位長度，得到的拋物線與軸只有一個公共點；

（3）平移該拋物線，使平移后的拋物線經過點，且與軸交于點，同時滿足以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，請你寫出平移過程，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，頂點坐標為；（2）下，；（3）將原拋物線向左平移3個單位，再向下平移3個單位或將原拋物線先向左平移2個單位，再向下平移5個單位，理由見解析.

【解析】

（1）將點和代入拋物線解析式可求出a，b，進而得到拋物線解析式，將解析式化成頂點式可得頂點坐標；

（2）根據平移規律進行解答；

（3）根據是等腰直角三角形可得點的坐標為或，分情況討論，分別求出拋物線解析式，進而判斷平移方式即可.

解：（1）由題意，得，

解得，

∴該拋物線的解析式為，

∵，

∴頂點坐標為；

（2）∵當頂點坐標為時，拋物線與軸只有一個公共點，

∴需要把該拋物線向下平移個單位長度；

（3）是等腰直角三角形，，點在軸上，

點的坐標為或，

設平移后的拋物線的解析式為，

①當拋物線過點，時，有，

解得，

平移后的拋物線的解析式，

該拋物線的頂點坐標為，

原拋物線的頂點坐標為，

將原拋物線向左平移3個單位，再向下平移3個單位即可得到符合條件的拋物線；

②當拋物線過，時，有，

解得，

平移后的拋物線的解析式為，

該拋物線的頂點坐標為，

原拋物線的頂點坐標為，

將原拋物線先向左平移2個單位，再向下平移5個單位即可得到符合條件的拋物線.