Question

【題目】在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）將△ADF繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG（如圖①），求證：△AEG≌△AEF；

（2）若直線EF與AB，AD的延長線分別交于點(diǎn)M，N（如圖②），求證：EF2=ME2+NF2；

（3）將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），請你直接寫出線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ADF繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，

∴AF=AG，∠FAG=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠GAE=45°，

在△AGE與△AFE中，

，

∴△AGE≌△AFE（SAS）；

（2）

證明：設(shè)正方形ABCD的邊長為a．

將△ADF繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連結(jié)GM．

則△ADF≌△ABG，DF=BG．

由（1）知△AEG≌△AEF，

∴EG=EF．

∵∠CEF=45°，

∴△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，

∴CE=CF，BE=BM，NF= DF，

∴a﹣BE=a﹣DF，

∴BE=DF，

∴BE=BM=DF=BG，

∴∠BMG=45°，

∴∠GME=45°+45°=90°，

∴EG2=ME2+MG2，

∵EG=EF，MG= BM= DF=NF，

∴EF2=ME2+NF2；

（3）

解：EF2=2BE2+2DF2．

如圖所示，延長EF交AB延長線于M點(diǎn)，交AD延長線于N點(diǎn)，

將△ADF繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AGH，連結(jié)HM，HE．

由（1）知△AEH≌△AEF，

則由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，

即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2

又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，

即2（DF2+BE2）=EF2

【解析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可證△AEG≌△AEF；（2）將△ADF繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連結(jié)GM．由（1）知△AEG≌△AEF，則EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF= DF，然后證明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2 ， 等量代換即可證明EF2=ME2+NF2；（3）延長EF交AB延長線于M點(diǎn)，交AD延長線于N點(diǎn)，將△ADF繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AGH，連結(jié)HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，結(jié)合勾股定理以及相等線段可得（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2 ， 所以2（DF2+BE2）=EF2 ．