Question

【題目】如圖，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得頂點E，F，P分別在線段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=，∠BAD=60°，且AB＞．

（1）求∠EPF的大小；

（2）若AP=10，求AE+AF的值；

（3）若△EFP的三個頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運動，請直接寫出AP長的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）；（3）AP的最大值為12，AP的最小值為6．

【解析】

試題分析：（1）根據銳角三角函數求出∠FPG，最后求出∠EPF．

（2）先判斷出Rt△PME≌Rt△PNF，再根據銳角三角函數求解即可，（3）根據運動情況及菱形的性質判斷求出AP最大和最小值．

試題解析：（1）過點P作PG⊥EF于點G，如圖1所示．

∵PE=PF=6，EF，∴FG=EG=，∠FPG=∠EPG=∠EPF．

在Rt△FPG中，sin∠FPG===，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=120°；

（2）過點P作PM⊥AB于點M，作PN⊥AD于點N，如圖2所示．

∵AC為菱形ABCD的對角線，∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．

在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME=NF．

又AP=10，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AN=APcos30°=10×=，∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=；

（3）如圖，當△EFP的三個頂點分別在AB，AD，AC上運動，點P在P1，P之間運動，∴P1O=PO=3，AO=9，∴AP的最大值為12，AP的最小值為6．