Question

如圖，AB∥CD、AD∥CE，F(xiàn)、G分別是AC和FD的中點(diǎn)，過G的直線依次交AB、AD、CD、CE于點(diǎn)M、N、P、Q，
求證：MN+PQ=2PN．

Answer 1

分析：根據(jù)已知的平行線，可以通過延長已知線段構(gòu)造平行四邊形．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到比例線段，再根據(jù)等式的性質(zhì)即可得出等量關(guān)系．

解答：證明：延長BA、EC，設(shè)交點(diǎn)為O，則四邊形OADC為平行四邊形，
∵F是AC的中點(diǎn)，
∴DF的延長線必過O點(diǎn)，且

DG

OG

=

1

3

．
∵AB∥CD，
∴

MN

PN

=

AN

DN

．
∵AD∥CE，
∴

PQ

PN

=

CQ

DN

．
∴

MN

PN

+

PQ

PN

=

AN

DN

+

CQ

DN

=

AN+CQ

DN

．
又∵

DN

OQ

=

DG

OG

=

1

3

，
∴OQ=3DN．
∴CQ=OQ-OC=3DN-OC=3DN-AD，AN=AD-DN．
∴AN+CQ=2DN．
∴

MN

PN

+

PQ

PN

=

AN+CQ

DN

=2．
即MN+PQ=2PN．

點(diǎn)評(píng)：綜合運(yùn)用了平行四邊形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理．