Question

（2012•瑤海區二模）如圖，直線y=-x+b（b＞0）與雙曲線y=

k

x

（ x＞0）交于A、B兩點，連接OA、OB，AM⊥y軸于M，BN⊥X軸于N；有以下結論：①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，則S_△AOB=k；④AB=

2

時，ON=BN=1．其中結論正確的是

①②③

．

Answer 1

分析：①②設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立y=-x+b與y=

k

x

，得x²-bx+k=0，則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，比較可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可證結論；
③作OH⊥AB，垂足為H，根據對稱性可證△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可證S_△AOB=k；
④延長MA，NB交于G點，可證△ABG為等腰直角三角形，當AB=

2

時，GA=GB=1，則ON-BN=GN-BN=GB=1；

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入y=

k

x

中，得x₁•y₁=x₂•y₂=k，
聯立

y=-x+b y= k x

，得x²-bx+k=0，
則x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂•y₂=k，
可得x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN，
∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，正確；
③作OH⊥AB，垂足為H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵②△AOM≌△BON，正確；
∴∠MOA=∠BON=22.5°，
∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=

1

2

k+

1

2

k=k，正確；
④延長MA，NB交于G點，
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG為等腰直角三角形，
當AB=

2

時，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，
∴當AB=

2

時，ON=BN=1不正確．
正確的結論有3個，故答案為①②③．

點評：本題考查了反比例函數的綜合運用．關鍵是明確反比例函數圖象上點的坐標特點，反比例函數圖象的對稱性．