Question

（2005•遼寧）如圖，⊙O的弦AB=10，P是弦AB所對優弧上的一個動點，tan∠APB=2，
（1）若△APB為直角三角形，求PB的長；
（2）若△APB為等腰三角形，求△APB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）若△APB為直角三角形，則應分AP是直徑，和BP是直徑兩種情況討論；
（2）若△APB為等腰三角形，應分PA=PB，BA=BP，AB=AP（與BA=BP情況相同）三種情況進行討論．
解答：解：（1）△APB是直角三角形有兩種情況：
作直徑AP₂、BP_l，連接P_lA、P₂B，
∴P₂B=AB÷tan∠APB=5，
P_lB=AP₂=5，
所以PB的長為5或5；

（2）△APB為等腰三角形時有三種情況：
①PA=PB，
∵∠AOH=∠APB，AB=10
∴OH=，∴OP=，PH=
∴S_△APB=；
②BA=BP，
∴∠GAB=∠APB
在⊙O上取一點P₄使BP₄=BA，連接AP₄交P₁B于G
設AG=k
∵tan∠APB=2
∴BG=2k
由勾股定理得k=2
∴S_△APB=40；
③AB=AP與BA=BP情況相同
∴S_△APB=40．
點評：注意分類討論是解決本題的關鍵．分類討論也是初中數學學習的一種重要思想方法．