Question

（2005•遼寧）如圖，⊙C經過坐標原點O，分別交x軸正半軸、y軸正半軸于點B、A，點B的坐標為（4，0），點M在⊙C上，并且∠BMO=120度．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點P是⊙C上的點，過點P作⊙C的切線PN，若∠NPB=30°，求點P的坐標；
（3）若點D是⊙C上任意一點，以B為圓心，BD為半徑作⊙B，并且BD的長為正整數．
①問這樣的圓有幾個？它們與⊙C有怎樣的位置關系？
②在這些圓中，是否存在與⊙C所交的弧（指⊙B上的一條弧）為90°的弧，若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AB．根據圓內接四邊形的性質發現60°的直角三角形，從而求得點A的坐標，根據待定系數法即可求得直線的解析式；
（2）首先根據切線的性質和角的度數能夠正確分析出點P的位置，從而求得點P的坐標；
（3）①根據兩圓的位置關系與數量之間的聯系進行分析；
②根據圓心角的度數等于它所對的弧的度數，只需分析等腰直角三角形的邊的長是否為整數．
解答：解：（1）連接AB，
∵四邊形ABMO是圓內接四邊形
∴∠BAO=180°-∠BMO=60°
∵OB=4
∴OA=4，即A點坐標為（O，4）
設直線AB的解析式是y=kx+b
把（0，4）和（4，0），代入，得：
4k+4=0，k=-
∴直線AB解析式為-+4；

（2）點P有兩種情況：
第一種情況：作CH⊥OB，垂足為H，交弧OMB于P₁，P₁H=2，
點P₁坐標為（2，-2），
第二種情況：作直徑OP₂，過點P₂作0C的切線P₂N₂，連接P₂B，
點P₂的坐標為（4，4），
∴點P的坐標為（2，-2）或（4，4）；

（3）①這樣的圓有8個，它們與⊙C的位置關系是相交，內切；
②不存在；
過點C作0C直徑D₁D₂，使D_lD₂⊥AB，
以點B為圓心，BD為半徑作圓，
則0B上的劣弧D₁D₂的度數為90°，
連接BD₁、BD₂，則△BD₁D₂是等腰直角三角形，
BD₁=4，
不是正整數，∴不存在．
點評：此題要綜合運用圓內接四邊形的性質和特殊直角三角形的性質；
考查了兩圓的位置關系以及弧的度數等于它所對的圓心角的度數．