Question

已知：如圖，等腰△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，連接AD，交AB于點E，∠D=40°，∠B=25°．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，求弦AB的長（結果精確到0.01）．

Answer 1

分析：（1）連接OA，由于∠B=25°，利用圓周角定理可求∠O=50°，而∠D=40°，那么∠O+∠D=90°，利用三角形內角和等于180°，可求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切線；
（2）由于AC=BC，那么

AC

=

BC

，OC是半徑，利用垂徑定理的推論，可知OC⊥AB，在Rt△OAE中，利用三角函數值，可求AE，而AB=2AE，易求AB．

解答：證明：（1）連接OA，（1分）
∵∠B=25°，
∴∠0=2∠B=50°，（2分）
∵∠D=40°，
∴∠D+∠O=90°，（1分）
∴∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切線；（1分）

（2）∵AC=BC，
∴

AC

=

BC

，
∴OC⊥AB，（2分）
∴AE=OAsin50°，（2分）
∴AB=2AE=2×5sin50°≈7.66．（1分）

點評：本題利用了圓周角定理、三角形內角和定理、切線的判定、垂徑定理的推論、三角函數值．