Question

閱讀材料：如圖1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，點P在AB邊上，PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，則PE+PF=OA．（此結論不必證明，可直接應用）

（1）【理解與應用】

如圖2，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC，BD相交于點O，點P在AB邊上，PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，則PE+PF的值為　　．

（2）【類比與推理】

如圖3，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AB=4，AD=3，點P在AB邊上，PE∥OB交AC于點E，PF∥OA交BD于點F，求PE+PF的值；

（3）【拓展與延伸】

如圖4，⊙O的半徑為4，A，B，C，D是⊙O上的四點，過點C，D的切線CH，DG相交于點M，點P在弦AB上，PE∥BC交AC于點E，PF∥AD于點F，當∠ADG=∠BCH=30°時，PE+PF是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．

∵AB=BC=2，

∴AC=2．

∴OA=．

∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，

∴PE+PF=OA=．

（2）如圖3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．

∵AB=4，AD=3，

∴BD=5．

∴OA=OB=OC=OD=．

∵PE∥OB，PF∥AO，

∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．

∴，．

∴==1．

∴+=1．

∴EP+FP=．

∴PE+PF的值為．

（3）當∠ADG=∠BCH=30°時，PE+PF是定值．

理由：連接OA、OB、OC、OD，如圖4．

∵DG與⊙O相切，

∴∠GDA=∠ABD．

∵∠ADG=30°，

∴∠ABD=30°．

∴∠AOD=2∠ABD=60°．

∵OA=OD，

∴△AOD是等邊三角形．

∴AD=OA=4．

同理可得：BC=4．

∵PE∥BC，PF∥AD，

∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．

∴，．

∴==1．

∴=1．

∴PE+PF=4．

∴當∠ADG=∠BCH=30°時，PE+PF=4．