Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系，點O是原點，直線y＝x+6分別交x軸，y軸于點B，A，經過點A的直線y＝﹣x+b交x軸于點 C．

（1）求b的值；

（2）點D是線段AB上的一個動點，連接OD，過點O作OE⊥OD交AC于點E，連接DE，將△ODE沿DE折疊得到△FDE，連接AF．設點D的橫坐標為t，AF的長為d，當t＞﹣3時，求d與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，DE交OA于點G，且tan∠AGD＝3．點H在x軸上（點H在點O的右側），連接DH，EH，FH，當∠DHF＝∠EHF時，請直接寫出點H的坐標，不需要寫出解題過程．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）d＝6+2t；（3）H點的坐標為H1（10，0），H2（2，0）．

【解析】

（1）由y＝x+6求得A點坐標，再將A點坐標代入y＝﹣x+b中，便可求得b；

（2）過點D分別作DM⊥x軸于點M，DN⊥y軸于點N，過點F作FR⊥AF交AE于點R，可證明四邊形ODFE為正方形，再△AOD≌△COE（ASA），用t表示AD，再△ADF≌△REF（AAS），進而用t表示AR，問題便可迎刃而解；

（3）分兩種情況解答：第一種情況，當FH平分∠DHE時，連接OF，過E作EK⊥x軸于點K，用EL⊥y軸于點L，設正方形ODFE的外接圓交x軸于點H，證明△ODM≌△EOK（AAS），用t表示出EL，OL，再由tan∠AGD＝3，便可用t表示GN，GL，由OA＝6列出t的方程求得t，便可求得H點坐標；第二種情況，當∠DHF與∠EHF重合時，延長DE與x軸交于點H，求出DE與x軸的交點坐標便可．

解：（1）令x＝0，得y＝x+6＝6，

∴A（0，6），

把A（0，6）代入y＝﹣x+b中，得b＝6；

（2）令y＝0，得y＝x+6＝0，則x＝﹣6，

∴B（﹣6，0），

∵點D的橫坐標為t，

∴D（t，t+6），

令y＝0，得y＝﹣x+6＝0，x＝6，

∴C（6，0），

∵OA＝OB＝6，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

同理∠OAC＝∠OCA＝45°，

∴∠BAC＝90°，

在Rt△AOC中，AC＝，

過點D分別作DM⊥x軸于點M，DN⊥y軸于點N，

∵∠DMO＝∠MON＝∠OND＝90°，

∴四邊形DMON為矩形，

∴DN＝OM＝﹣t，

在Rt△ADN中，∠DAN＝45°，AD＝﹣t，

∵∠AOD+∠AOE＝90°，∠COE+∠AOE＝90°，

∴∠AOD＝∠COE，

又∵∠OAD＝∠OCE＝45°，OA＝OC，

∴△AOD≌△COE（ASA），

∴OD＝OE，AD＝CE＝﹣t，

∵△DFE和△DOE關于DE對稱，

∴DF＝OD＝0E＝EF，∠DFE＝∠DOE＝90°，

過點F作FR⊥AF交AE于點R，

∵∠AFD+∠DFR＝90°，∠RFE+∠DFR＝90°，

∴∠AFD＝∠RFE，

∵∠ERF＝∠RAF+∠AFR＝∠RAF+90°，

∠DAF＝∠RAF+∠DAR＝∠RAF+90°，

∴∠REF＝∠DAF，

∴△ADF≌△REF（AAS），

∴AF＝RF，AD＝RE＝，

∴∠FAR＝∠FRA，

又∵∠FAR+∠FRA═90°，

∴∠FAR＝∠FRA＝45°，

在Rt△AFR中，AR＝AC﹣CE﹣ER＝6+2t，

AF＝，

∴d＝6+2t；

（3）連接OF，過E作EK⊥x軸于點K，用EL⊥y軸于點L，設正方形ODFE的外接圓交x軸于點H，

∴∠DOM+∠ODM＝∠DOM+∠EOK＝90°，

∴∠ODM＝∠EOK，

∵∠OMD＝∠EKO＝90°，OD＝EO，

∴△ODM≌△EOK（AAS），

∴EK＝OM＝DN＝OL＝﹣t，LE＝OK＝DM＝6+t，

∵tan∠AGD＝3．DN＝﹣t，

∴，即，

∴GN＝，GL＝，

∴OA＝OL+GL+GN+AN＝﹣t+，

∵OA＝6，

∴﹣2t+2＝6，

∴t＝﹣2，

∴AF＝6+2t═2，

∵OF是正方形ODFE的外接圓的直徑，

∴FH⊥x軸，∠DHF＝∠DOF＝∠EOF＝45°＝∠EHF

∴H（2，0），此時滿足條件；

如圖3，延長DE與x軸交于點H，則∠DHF＝∠EHF，

由上知D（﹣2，4），E（4，2），

設直線DE的解析式為：y＝kx+b（k≠0），則

，

∴，

∴直線DE的解析式為：，

當y＝0時，得，

解得，x＝10，

∴H（10，0），

綜上，H點的坐標為H1（10，0），H2（2，0）．