Question

（2014•靜安區一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=

4

3

，點D是斜邊AB上的動點，聯結CD，作DE⊥CD，交射線CB于點E，設AD=x．
（1）當點D是邊AB的中點時，求線段DE的長；
（2）當△BED是等腰三角形時，求x的值；
（3）如果y=

DE

DB

，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ABC中，由AB與tanA的值，利用銳角三角函數定義及勾股定理求出BC與AC的長，由D為斜邊上的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD=BD=5，可得出∠DCB=∠DBC，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的三角形相似得到三角形EDC與三角形ACE相似，由相似得比例，即可求出DE的長；
（2）分兩種情況考慮：
（i）當E在BC邊上時，由三角形BDE為等腰三角形且∠BED為鈍角，得到DE=BE，利用等邊對等角得到∠EBD=∠EDB，利用等角的余角相等得到∠CDA=∠A，利用等角對等邊得到CD=AC，作CH垂直于AB，利用三線合一得到AD=2AH，由cosA的值求出AH的長，進而求出AD的長，即為x的值；
（ii）當E為BC延長線上時，與∠DBE為鈍角得到DB=BE，同理求出x的值；
（3）作DM垂直于BC，得到DM與AC平行，由平行得比例，表示出DM與BM，進而表示出CD與CM，由三角形DEM與三角形CDM相似得比例，表示出DE，由BD=AB-AD=10-x，將DE與DB代入表示出y，化簡得到結果，并求出x的范圍即可．

解答：解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，tanA=

4

3

，
∴BC=8，AC=6，
∵點D為斜邊AB的中點，∴CD=AD=BD=5，
∴∠DCB=∠DBC，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴△EDC∽△ACB，
∴

DE

CD

=

AC

BC

，即

DE

5

=

6

8

，
則DE=

15

4

；

（2）分兩種情況情況：
（i）當E在BC邊長時，
∵△BED為等腰三角形，∠BED為鈍角，
∴EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠A，
∴CD=AC，
作CH⊥AB，垂足為H，那么AD=2AH，
∴

AH

AC

=

3

5

，即AH=

18

5

，
∴AD=

36

5

，即x=

36

5

；
（ii）當E在CB延長線上時，
∵△BED為等腰三角形，∠DBE為鈍角，
∴BD=DE，
∴∠BED=∠BDE，
∵∠EDC=90°，
∴∠BED+∠BCD=∠BDE+∠EDC=90°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC=8，
∴AD=x=AB-BD=10-8=2；

（3）作DM⊥BC，垂足為M，
∵DM∥AC，
∴

DM

AC

=

BM

BC

=

BD

BA

，
∴DM=

3

5

（10-x），BM=

4

5

（10-x），
∴CM=8-

4

5

（10-x）=

4

5

x，CD=

x2- 36 5 x+36

，
∵△DEM∽△CDM，
∴

DE

DM

=

CD

CM

，即DE=

DM•CD

CM

=

3(10-x)

4x

x2- 36 5 x+36

，
∴y=

DE

DB

=

3(10-x) 4x x2- 36 5 x+36

10-x

，
整理得：y=

3

20x

25x2-180x+900

（0＜x＜10）．

點評：此題屬于相似型綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質，等腰三角形的判定與性質，利用了分類討論的思想，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．