Question

9．如圖，△ABC的邊長BC=24，高AD=8，矩形EFGH的邊FG在BC上，頂點E，H分別在AB，AC上，相鄰兩邊EF，FG的比為1：3．
（1）求證：△AEH∽△ABC；
（2）求這個矩形EFGH的面積．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質得出EH∥BC，EH=FG，即可證出△AEH∽△ABC；
（2）設EF=k，EH=FG=3k，則AK=8-k，由相似三角形的性質得出比例式求出k值，得出EF、EH的長，最后求得四邊形EFGH的面積．

解答 （1）證明：∵四邊形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，EH=FG，
∴△AEH∽△ABC．
（2）解：設EF=k，EH=FG=3k，則AK=8-k，
∵△AEH∽△ABC，
∴$\frac{EH}{BC}=\frac{AK}{AD}$，
即$\frac{3k}{24}=\frac{8-k}{8}$，
解得：k=4，
∴EH=4，EH=12，
∴四邊形EFGH的面積=EF•EH=4×12=48

點評 本題主要考查了矩形的性質、相似三角形的性質和判定，明確相似三角形的對應高的比等于相似比是解題的關鍵．