Question

二次函數的圖象的頂點坐標是(

1

2

，

25

4

)，它與 x 軸的一個交點B的坐標是（-2，0），另一個交點的是C，它與y 軸相交于D，O為坐標原點．試問：y軸上是否存在點P，使得△POB∽△DOC？若存在，試求出過P、B 兩點的直線的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：先根據條件利用待定系數法求出拋物線的解析式，然后根據解析式求出點D，點C的坐標，最后根據相似三角形的性質求出點P的坐標，根據P、B兩點的坐標利用待定系數法就可以求出直線PB的解析式．

解答：解：∵二次函數的圖象的頂點坐標是(

1

2

，

25

4

)，它與 x 軸的一個交點B的坐標是（-2，0），
∴設拋物線的解析式為：y=a(x-

1

2

)2+

25

4

將點B（-2，0）代入得，
0=a(-2-

1

2

)2+

25

4

，解得
a=-1
∴拋物線的解析式為：y=-x²+x+6．
當x=0時，y=6
∴D（0，6），
∴OD=6
y=0時，x₁=-2，x₂=3
C（3，0），
∴OC=3，
∵B（-2，0），
∴OB=2．
∵△POB∽△DOC，
∴

PO

OB

=

DO

OC

，
∴

PO

2

=

6

3

∴PO=4
∴P（0，4）或P（0，-4），
設直線PB的解析式為：y=kx+b，
∴

0=-2k+b 4=b

或

0=-2k+b -4=b

，解得：

k=2 b=4

或

k=-2 b=-4

求得直線PB的解析式為：y=2x+4或y=-2x-4．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了運用待定系數法求二次函數的解析式和求一次函數的解析式，相似三角形的判定及性質．