Question

如圖，已知二次函數的圖象經過點A（6，0）、B（﹣2，0）和點C（0，﹣8）．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）設該二次函數圖象的頂點為M，若點K為x軸上的動點，當△KCM的周長最小時，點K的坐標為　   　；

（3）連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當P、Q兩點相遇時，它們都停止運動，設P、Q同時從點O出發t秒時，△OPQ的面積為S．

①請問P、Q兩點在運動過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，

請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

②請求出S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；

③設S₀是②中函數S的最大值，直接寫出S₀的值．

Answer 1

解：（1）設二次函數的解析式為y=a（x+2）（x﹣6）

∵圖象過點（0，﹣8）

∴a=

∴二次函數的解析式為y=x²﹣x﹣8；--------------------（2分）

（2）∵y=x²﹣x﹣8=（x²﹣4x+4﹣4）﹣8=（x﹣2）²﹣

∴點M的坐標為（2，﹣）

∵點C的坐標為（0，﹣8），

∴點C關于x軸對稱的點C′的坐標為（0，8）

∴直線C′M的解析式為：y=﹣x+8

令y=0

得﹣x+8=0

解得：x=

∴點K的坐標為（，0）；-------------------（2分）

（3）①不存在PQ∥OC，

若PQ∥OC，則點P，Q分別在線段OA，CA上，

此時，1＜t＜2

∵PQ∥OC，

∴△APQ∽△AOC

∴

∵AP=6﹣3t

AQ=18﹣8t，

∴

∴t=

∵t=＞2不滿足1＜t＜2；

∴不存在PQ∥OC；-----------------------（3分）

③當0≤t≤1時，S=12t²，函數的最大值是12；

當1＜t≤2時，S=﹣+，函數的最大值是；

當2＜t＜，S=QP•OF=﹣+，函數的最大值為；-------------（3分）

∴S₀的值為_{-----------------（2分）}．