Question

某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD（AB＜BC）的對角線的交點O旋轉（①→②→③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點。
⑴該學習小組成員意外的發現圖①（三角板一直角邊與OD重合）中，BN²=CD²+CN²，在圖③中（三角板一邊與OC重合），CN²=BN²+CD²，請你對這名成員在圖①和圖③中發現的結論選擇其一說明理由。

⑵試探究圖②中BN、CN、CM、DN這四條線段之間的數量關系，寫出你的結論，并說明理由。

⑶將矩形ABCD改為邊長為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點繞O點旋轉到圖④，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N，直接寫出BN、CN、CM、DM這四條線段之 間所滿足的數量關系（不需要證明）

Answer 1

⑴見解析⑵CM²+CN²=DM²+BN²，理由見解析⑶CM²－CN²+ DM²－BN²=2

⑴選擇圖①證明：
連結DN
∵矩形ABCD
∴BO=DO ∠DCN=90⁰
∵ON⊥BD
∴NB=ND     
∵∠DCN=90⁰
∴ND²=NC²+CD²   
∴BN²=NC²+CD²   (4分)
注：若選擇圖③，則連結AN同理可證并類比給分
⑵CM²+CN²=DM²+BN²   理由如下：
延長DO交AB于E
∵矩形ABCD
∴BO=DO ∠ABC=∠DCB=90⁰
AB∥CD
∴∠ABO=∠CDO ∠BEO=∠DMO
∴△BEO≌△DMO 
∴OE=OM   BE=DM
∵MO⊥EM
∴NE=NM         
∵∠ABC=∠DCB=90⁰
∴NE²=BE²+BN²   NM²=CN²+CM²
∴CN²+CM² =BE²+BN²
即CN²+CM² =DM²+BN² (4分)
⑶CM²－CN²+ DM²－BN²=2（2分）
（1）作輔助線，連接DN，在Rt△CDN中，根據勾股定理可得：ND²=NC²+CD²，再根據ON垂直平分BD，可得：BN=DN，從而可證：BN²=NC²+CD²；
（2）作輔助線，延長MO交AB于點E，可證：△BEO≌△DMO，NE=NM，在Rt△BEN和Rt△MCN中，根據勾股定理和對應邊相等，可證：CN²+CM²=DM²+BN²；
（3）根據正方形的性質知：OA=OB，∠OAM=∠OBN，∠AOB=∠AOM+∠BOM=90°，∠MON為直角三角板的直角，可知：∠MON=∠BOM+∠BON=90°，可得：∠AOM=∠BON，從而可證：△AOM≌△BON，AM=BN，又AB=BC，可得：BM=CN，在Rt△ADM和△BCM中，根據勾股定理：DM²=AM²+AD²=BN²+AD²，MC2=MB²+BC²=CN²+BC²，故可得：CM²-CN²+DM²-BN²=2．