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如圖,直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,P為斜邊AB上一動點.PE⊥BC,PF⊥CA,則線段EF長的最小值為   
【答案】分析:先由相似三角形的判定定理證明△BEP∽△BCA;再根據相似三角形的對應邊成比例得出=;最后在直角三角形中的勾股定理列出一元二次方程,求二次函數的最值.
解答:解:法一:設EC=y,FC=x.
∵∠C=90°,PE⊥BC,PF⊥CA,
∴四邊形EPFC是矩形,
∴EP=FC=x;
∵AC=1,BC=2,
∴BE=2-y,
∵∠C=90°,PE⊥BC,
∴PE∥AC,
∴∠BPE=∠A,
又∵∠B=∠B,
=,即y=2(1-x);
∵EF2=x2+y2
∴EF2=5(x-2+(0<x<1),
∴當x=時,EF最小值==

法二:連接PC,
∵PE⊥BC,PF⊥CA,
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°,
∴四邊形ECFP是矩形,
∴EF=PC,
∴當PC最小時,EF也最小,
即當CP⊥AB時,PC最小,
∵AC=1,BC=2,
∴AB=
∴PC的最小值為:=
∴線段EF長的最小值為
點評:本題主要考查的是矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質以及二次函數的最值,是綜合性較強的一道題.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,直角三角形ABC中∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,AB=4.則BD=
 

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如圖,直角三角形ABC的直角邊AB=6,以AB為直徑畫半圓,若陰影部分的面積S1-S2=
π
2
,則BC=( 。

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如圖在直角三角形ABC的斜邊AB上另作直角三角形ABD,并以AB為斜邊,若BC=1,AC=m,AD=2,則BD等于(  )

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2
2
cm.

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如圖,直角三角形ABC中,∠C=90°,P,E分別是邊AB,BC上的點,D為△ABC外一點,DE⊥BC,DE=EC,BE=2EC,∠BDE=∠PEC,AD∥PE,AC=4,則線段BC的長為
12
12

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