Question

如圖，拋物線y=ax²+bx﹣3a（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，2），連接BC．

（1）求該拋物線的解析式和對稱軸，并寫出線段BC的中點坐標；

（2）將線段BC先向左平移2個單位長度，在向下平移m個單位長度，使點C的對應點C₁恰好落在該拋物線上，求此時點C₁的坐標和m的值；

（3）若點P是該拋物線上的動點，點Q是該拋物線對稱軸上的動點，當以P，Q，B，C四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求此時點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx﹣3a（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C（0，2），

∴，

解得．

∴拋物線的解析式為y=﹣x²+x+2=﹣（x﹣1）²+2，

∴對稱軸是x=1，

∵1+（1+1）=3，

∴B點坐標為（3，0），

∴BC的中點坐標為（1.5，1）；

 

（2）∵線段BC先向左平移2個單位長度，再向下平移m個單位長度，使點C的對應點C₁恰好落在該拋物線上，

∴點C₁的橫坐標為﹣2，

當x=﹣2時，y=﹣×（﹣2）²+×（﹣2）+2=﹣，

∴點C₁的坐標為（﹣2，﹣），

m=2﹣（﹣）=5；

 

（3）①若BC為平行四邊形的一邊，

∵BC的橫坐標的差為3，

∵點Q的橫坐標為1，

∴P的橫坐標為4或﹣2，

∵P在拋物線上，

∴P的縱坐標為﹣3，

∴P₁（4，﹣3），P₂（﹣2，﹣3）；

②若BC為平行四邊形的對角線，

則BC與PQ互相平分，

∵點Q的橫坐標為1，BC的中點坐標為（1.5，1），

∴P點的橫坐標為1.5+（1.5﹣1）=2，

∴P的縱坐標為﹣×2²+×2+2=2，

∴P₃（2，2）．

綜上所述，點P的坐標為：P₁（4，﹣3），P₂（﹣2，﹣3），P₃（2，2）．