Question

如圖，按一定的規(guī)律用牙簽搭圖形：

（1）按如圖所示的規(guī)律填表：

圖形標(biāo)號(hào)	①	②	③	④	…
牙簽根數(shù)					…

（2）搭第10個(gè)圖形需要

 

根牙簽．
（3）搭第n個(gè)圖形需要

 

根牙簽．
（4）如果現(xiàn)有2011顆牙簽，那么他按照這種規(guī)律從①個(gè)圖案擺放下去，是否可以擺放成完整的圖案后剛好2011顆牙簽一顆不剩？如果可以，那么剛好擺放完成幾個(gè)完整的圖案？如果不行，那么最多可以擺放多少個(gè)完整圖案，還剩余幾顆牙簽？（只答結(jié)果，不說(shuō)明理由）

Answer 1

分析：（1）第一個(gè)圖形是圍成1個(gè)三角形的根數(shù)減1，第二個(gè)圖形是圍成（1+2）個(gè)三角形的根數(shù)減2，第三個(gè)圖形是圍成（1+2+3）個(gè)三角形的根數(shù)減3，…由此找出搭第n個(gè)圖形需要（1+2+3+…+n）×3-n=

3n2+n

2

根牙簽；
（2）（3）由（1）得出的規(guī)律解答即可；
（4）由前n項(xiàng)的和的計(jì)算公式A_n=

1

2

n（n+1）²代入估算判定解答即可．

解答：解：（1）如表，

圖形標(biāo)號(hào)	①	②	③	④	…
牙簽根數(shù)	2	7	15	26	…

（2）第10個(gè)圖形需

3n2+n

2

=

3×102+10

2

=155個(gè)；
（3）第n個(gè)圖形需要（1+2+3+…+n）×3-n=

n(3n+1)

2

；
（4）由題意得

1

2

n（n+1）²=2011，
可知n³＜n（n+1）²=4022＜（n+1）³，
15≤n＜16，
當(dāng)n=15時(shí)，得

1

2

n（n+1）²=1920，
2011-1920=91（顆），
由以上可知，不可以擺放成完整的圖案后剛好2011顆牙簽一顆不剩，
當(dāng)擺放完成15個(gè)完整圖案，還剩下91顆牙簽．

點(diǎn)評(píng)：解決此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，找出規(guī)律，進(jìn)一步利用通項(xiàng)解決問(wèn)題．