Question

已知△ABC是等邊三角形，點D、F分別在邊BC、AC上，且DF∥AB，過點A平行于BC的直線與DF的延長線交于點E，連結CE、BF．
（1）求證：△ABF≌△ACE；
（2）若D是BC的中點，判斷△DCE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判斷△EAF為等邊三角形，然后利用SAS定理可證明△ABF≌△ACE．
（2）連接AD，則可證明四邊形ADCE是平行四邊形，利用等邊三角形的性質可得AD⊥BC，即∠ADC為直角，得出四邊形ADCE為矩形，繼而可判斷△DCE的形狀．
解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，AE∥BD，
∴∠EFA=∠BAC=60°，∠CAE=∠ACB=60°，
∴△EAF是等邊三角形，
∴AF=AE，
在△ABF和△ACE中，
∵，
∴△ABF≌△ACE（SAS）．

（2）△DCE是直角三角形，∠DCE=90°．
理由：連接AD，
∵DE∥AB，AE∥BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE=BD，
∵D是BC中點，
∴BD=DC，
∴AE=DC，
∵AE∥DC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵AB=AC，D是BC中點，
∴AD⊥DC，
∴四邊形ADCE是矩形，
∴△DCE是直角三角形，∠DCE=90°．
點評：本題考查了矩形的判定與性質、三角形全等的判定及等邊三角形的性質，考察的知識點較多，注意各知識點的掌握，此題難度一般．