Question

【題目】如圖，△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，MN 經過點 O，與 AB、AC 相交于點 M、N，且 MN∥BC，那么下列說法中：①∠MOB＝∠MBO②△AMN 的周長等于 AB+AC；③∠A＝2∠BOC﹣180°；④連接 AO，則：：＝AB：AC：BC；正確的有（ ）

A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據角平分線的定義可得∠ABO=∠CBO,根據兩直線平行,內錯角相等可得∠CBO=∠BOM,從而得到∠ABO=∠BOM,再根據等角對等邊可得BM=OM,同理可得CN=ON,然后即可求出ΔAMN的周長=AB+AC，由ΔABC、ΔBOC內角和為180，及BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB可得∠A＝2∠BOC﹣180,可得點O為ΔABC的內心，可得：：＝AB：AC：BC，可得答案.

解：BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，∠ABO=∠CBO

MN∥BC，∠CBO=∠BOM，∠MOB＝∠MBO，故①正確；

BM=OM，同理CN=ON，△AMN 的周長等于 AB+AC，故②正確；

由ΔABC、ΔBOC內角和為180

∠A+∠ABC+∠ACB=180,即：∠A+2(∠OBC+∠OCB)=180,

∠OBC+∠OCB+∠BOC=180,即∠OBC+∠OCB=180-∠BOC,

可得：∠A＝2∠BOC﹣180°，故③正確；

由題意得：點O為ΔABC的內心，設內切圓半徑為r，可得：：＝AB：AC：BC= AB：AC：BC，故④正確

故選D.