Question

（2011•濰坊）已知正方形ABCD的邊長為a，兩條對角線AC、BD相交于點O，P是射線AB上任意一點，過P點分別作直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F．

（1）如圖1，當P點在線段AB上時，求PE+PF的值．
（2）如圖2，當P點在線段AB的延長線上時，求PE﹣PF的值．

Answer 1

解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，
∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．
∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．
（2）∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，
∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=∠OBA=45°，∴PF=BF．
∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．

略