Question

20．在Rt△ABC中，∠ABD=90°，AE=BD，AB=CD，連接CE、AD兩線交于P，則∠CPD=45°．

Answer 1

分析 如圖，作CM⊥BC，且CM=AE，即可得出CM=BD，證得四邊形AMCE是平行四邊形，即可證得AM∥CE，通過SAS證得△CDM≌△BAD（SAS），根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得出MD=AD，∠MDC=∠DAB，進而求得△ADM是等腰直角三角形，得出∠MAD=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證得∠CPD=∠MAD=45°．

解答 解：如圖，作CM⊥BC，且CM=AE，
∵AE=BD，
∴CM=BD，
∵∠ADB=90°，
∴AE∥CM，
∴四邊形AMCE是平行四邊形，
∴AM∥CE，
在△CDM和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=BD}\\{∠MCD=∠ABD=90°}\\{CD=AB}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△BAD（SAS），
∴MD=AD，∠MDC=∠DAB，
∵∠ADB+∠DAB=90°，
∴∠MDC+∠ADB=90°，
∴∠ADM=90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴∠MAD=45°，
∴∠CPD=∠MAD=45°．
故答案為45°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，找出輔助線構(gòu)建全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．