Question

【題目】如圖，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足為D，圓E是△ACD的內切圓，切點分別為M，N，F，連接AE，BE.

（1）求∠AEB的度數；

（2）若AD＝DB，CD＝3，求扇形CAB的弧長和圓E的半徑．

Answer 1

【答案】（1）∠AEB＝135°；（2）扇形CAB的弧長為，圓E的半徑為．

【解析】

（1）連接EC．首先求出∠AEC=135°，再證明△EAC≌△EAB即可解決問題；

（2）連接BC、EF、EM、EN、DE，證明△ABC是等邊三角形，得出∠BAC=60°，由直角三角形的性質得出ADCD，得出AB=AC=2，由弧長公式求出扇形CAB的弧長，由切線的性質和三角形面積可求出圓E的半徑．

（1）連接EC．如圖1所示：

∵E是△ADC的內心，∠ADC=90°，∴∠ACE∠ACD，∠EAC∠CAD，∴∠AEC=180°（∠ACD+∠CAD）=135°，

在△AEC和△AEB中，∵，∴△EAC≌△EAB（SAS），∴∠AEB=∠AEC=135°；

（2）連接BC、EF、EM、EN、DE，如圖2所示：

∵CD⊥AB，AD=DB，∴AC=BC．

∵AC=AB，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴∠ACD=30°，∴ADCD，∴AB=AC=2，∴扇形CAB的弧長為，

∵圓E是△ACD的內切圓，切點分別為M，N，F，∴EF⊥AD，EN⊥CD，EM⊥AC，EM=EF=EN．

∵CD⊥AB，∴△ACD的面積=△ACE的面積+△ADE的面積+△CDE的面積，

即32EMEF3×EN，

解得：EF，

即圓E的半徑為．