Question

（2009•三明質(zhì)檢）已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四邊形EFGH的三個頂點E、F、H分別在矩形ABCD邊AB、BC、DA上，AE=2．
（1）如圖1，當(dāng)四邊形EFGH為正方形時，求△GFC的面積；
（2）如圖2，當(dāng)四邊形EFGH為菱形，且BF=a時，求△GFC的面積（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）的條件下，△GFC的面積能否等于2？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點G作GM⊥BC于M，可以證明△MFG≌△BEF，就可以求出GM的長，進而就可以求出FC，求出面積．
（2）證明△AHE≌△MFG．得到GM的長，根據(jù)三角形的面積公式就可以求出面積．
（3）△GFC的面積不能等于2，根據(jù)面積就可以求出a的值，在△BEF中根據(jù)勾股定理就可以得到EF，進而在直角△AHE中求出AH．
解答：解：（1）如圖1，過點G作GM⊥BC于M．
在正方形EFGH中，∠HEF=90°，EH=EF，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AHE=∠BEF，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AHE≌△BEF，
同理可證：△MFG≌△BEF，
∴GM=BF=AE=2，
∴FC=BC-BF=10，
則S_△GFC=10，


（2）如圖2，過點G作GM⊥BC于M．
連接HF．
∵AD∥BC，∴∠AHF=∠MFH，
∵EH∥FG，∴∠EHF=∠GFH，
∴∠AHE=∠MFG．
又∵∠A=∠GMF=90°，EH=GF，
∴△AHE≌△MFG．
∴GM=AE=2．
∴（12-a）×2=（12-a）

（3）△GFC的面積不能等于2．
∵若S_△GFC=2，則12-a=2，
∴a=10．
此時，在△BEF中，，
在△AHE中，，
∴AH＞AD，
即點H已經(jīng)不在邊AD上．
故不可能有S_△GFC=2；
解法二：△GFC的面積不能等于2，
∵點H在AD上，
∴菱形邊長EH的最大值為，
∴BF的最大值為，
又因為函數(shù)S_△GFC=12-a的值隨著a的增大而減小，
所以S_△GFC的最小值為．
又∵，
∴△GFC的面積不能等于2．
點評：解決本題的關(guān)鍵是證明三角形全等．