Question

（2012•大興區二模）閱讀材料1：
把一個或幾個圖形分割后，不重疊、無縫隙的重新拼成另一個圖形的過程叫做“分割--重拼”．如圖1，一個梯形可以分割--重拼為一個三角形；如圖2，任意兩個正方形可以分割--重拼為一個正方形．
（1）請你在圖3中畫一條直線將三角形分割成兩部分，將這兩部分重新拼成兩個不同的四邊形，并將這兩個四邊形分別畫在圖4，圖5中；
閱讀材料2：
如何把一個矩形ABCD（如圖6）分割--重拼為一個正方形呢？操作如下：
①畫輔助圖：作射線OX，在射線OX上截取OM=AB，MN=BC．以ON為直徑作半圓，過點M作MI⊥OX，與半圓交于點I；
②如圖6，在CD上取點F，使AF=MI，作BE⊥AF，垂足為E．把△ADF沿射線DC平移到△BCH的位置，把△AEB沿射線AF平移到△FGH的位置，得四邊形EBHG．
（2）請依據上述操作過程證明得到的四邊形EBHG是正方形．

Answer 1

分析：（1）將三角形沿中位線畫一條直線，將三角形分為直角三角形和一個直角梯形，就可以重新組合成一個等腰梯形或正方形．如圖．
（2）先利用圓的性質可以得出△OIM∽△INM．得出IM ²=OM•NM．由條件AF=MI，可以得出AF ²=AB•BC=AB•AD．再利用矩形的性質可以得出△DFA∽△EAB．從而得出AF•BE=AB•AD=AF ²．可以得出BH=BE，最后由操作方法可以得出四邊形EBHG是平行四邊形．且∠GEB=90°．從而得出結論．

解答：解：（1）將三角形沿中位線畫一條直線，三角形分為直角三角形和一個直角梯形，就可以重新組合成一個等腰梯形或正方形．如圖．

（2）證明：在輔助圖中，連接OI、NI．

∵ON是所作半圓的直徑，
∴∠OIN=90°．
∵MI⊥ON，
∴∠OMI=∠IMN=90°且∠OIM=∠INM
∴△OIM∽△INM．
∴

OM

IM

=

IM

NM

．即IM ²=OM•NM．
∵OM=AB，MN=BC
∴IM ²⁼ AB•BC
∵AF=IM
∴AF ²=AB•BC=AB•AD．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠ADF=90°，
∴∠DFA=∠EAB．
∵BE⊥AF，
∴∠BEA=90°．
∴∠ADF=∠BEA，
∴△DFA∽△EAB．
∴

AD

BE

=

AF

AB

．即AF•BE=AB•AD=AF ²．
∴AF=BE．
∵AB∥FH，AB=FH，
∴四邊形AFHB是平行四邊形，
∴AF=BH
∴BH=BE．
由操作方法知BE∥GH，BE=GH．
∴四邊形EBHG是平行四邊形．
∵∠GEB=90°，
∴平行四邊形EBHG是矩形，
∵BH=BE，
∴四邊形EBHG是正方形．

點評：本題考查了相似三角形的判定于性質，矩形的性質于運用，正方形的判定，應用于設計作圖，圖形的剪拼．