Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，F為EC的中點，連接AF．寫出AF與BD的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】AF＝BD，AF⊥BD，理由見解析.

【解析】

過點C作CG∥AE交直線AF于G，直線AF交BD于H，證明△CGF≌△EAF（AAS），得出CG=AE，AF=GF，得出AF=AG，證明△BAD≌△ACG（SAS），得出BD=AG，∠ABD=∠CAG，進而得出結(jié)論．

AF=BD，AF⊥BD，理由如下：

過點C作CG∥AE交直線AF于G，直線AF交BD于H，如圖所示：
則∠G=∠EAF，∠EAC+∠ACG=180°，
∵F為EC的中點，
∴CF=EF，
在△CGF和△EAF中，

，
∴△CGF≌△EAF（AAS），
∴CG=AE，AF=GF，
∴AF=AG，
∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠EAC+∠BAD=360°-90°-90°=180°，∠CAG+∠BAH=90°，
∴AD=CG，∠BAD=∠ACG，
在△BAD和△ACG中，

，
∴△BAD≌△ACG（SAS），
∴BD=AG，∠ABD=∠CAG，
∴AF=BD，∠ABD+∠BAH=90°，
∴AF⊥BD．