Question

（2014•靜安區一模）已知在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=-2x²+bx+c的圖象經過點A（-3，0）和點B（0，6）．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）將這個二次函數的圖象向右平移5個單位后的頂點設為C，直線BC與x軸相交于點D，求∠ABD的正弦值；
（3）在第（2）小題的條件下，聯結OC，試探究直線AB與OC的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點A、B的坐標代入函數解析式計算求出b、c的值，即可得解；
（2）先求出拋物線的頂點坐標，再根據向右平移橫坐標加，求出點C的坐標，設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數法求出直線BC的解析式，再求出與x軸的交點D的坐標，過點A作AH⊥BD于H，先求出OD，再利用勾股定理列式求出BD，然后求出△ADH和△BDO相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出AH，再利用勾股定理，然后根據銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解；
（3）方法一：求出

BD

BC

=

AD

AO

，然后根據平行線分線段成比例定理解答；
方法二：過點C作CP⊥x軸于P，分別求出∠BAO和∠COP的正切值，根據正切值相等求出∠BAO=∠COP，再根據同位角相等，兩直線平行解答．

解答：解：（1）由題意得，

-2×9-3b+c=0 c=6

，
解得

b=-4 c=6

，
所以，此二次函數的解析式為y=-2x²-4x+6；

（2）∵y=-2x²-4x+6=-2（x+1）²+8，
∴函數y=2x²-4x+6的頂點坐標為（-1，8），
∴向右平移5個單位的后的頂點C（4，8），
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

b=6 4k+b=8

，
解得

k= 1 2 b=6

，
所以，直線BC的解析式為y=

1

2

x+6，
令y=0，則

1

2

x+6=0，
解得x=-12，
∴點D的坐標為（-12，0），
過點A作AH⊥BD于H，
OD=12，BD=

OB2+OD2

=

62+122

=6

5

，
AD=-3-（-12）=-3+12=9，
∵∠ADH=∠BDO，∠AHD=∠BOD=90°，
∴△ADH∽△BDO，
∴

AH

OB

=

AD

BD

，
即

AH

6

=

9

6 5

，
解得AH=

9 5

5

，
∵AB=

OA2+OB2

=

32+62

=3

5

，
∴sin∠ABD=

AH

AB

=

9 5 5

3 5

=

3

5

；

（3）AB∥OC．
理由如下：方法一：∵BD=6

5

，BC=

(4-0)2+(8-6)2

=2

5

，AD=9，AO=3，
∴

BD

BC

=

AD

AO

=3，
∴AB∥OC；
方法二：過點C作CP⊥x軸于P，
由題意得，CP=8，PO=4，AO=3，BO=6，
∴tan∠COP=

CP

OP

=

8

4

=2，
tan∠BAO=

OB

OA

=

6

3

=2，
∴tan∠COP=tan∠BAO，
∴∠BAO=∠COP，
∴AB∥OC．

點評：本題是二次函數綜合題，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求一次函數解析式，銳角三角函數，相似三角形的判定與性質，作輔助線構造出相似三角形是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．