Question

下列說法：
①若一元二次方程x²+bx+a=0有一個根是-a（a≠0），則代數式a-b的值是-1
②若a+b+c=0，則x=a+b+c是一元二次方程ax²+bx+c=0的一個根
③若b=2a+3c，則一元二次方程ax²+bx+c=0有不相等的兩個實數根
④當m取整數-1或1時，關于x的一元二次方程mx²-4x+4=0與x²-4mx+4m²-4m-5=0的解都是整數．
其中正確的有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①將-a代入方程得出a-b的值即可；②利用a+b+c=0，即x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一個根得出答案，③利用b=2a+3c，分析△得出即可；
④這兩個一元二次方程都有解，因而根與判別式△≥0，即可得到關于m不等式，從而求得m的范圍，再根據m是整數，即可得到m的可能取到的幾個值，然后對每個值進行檢驗，是否符合使兩個一元二次方程的解都是整數即可確定m的值．

解答：解：①若一元二次方程x²+bx+a=0有一個根是-a（a≠0），則a²+b×（-a）+a=0
整理得出：a（a-b+1）=0，
則代數式a-b=-1，故此選項正確；

②若a+b+c=0，則x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一個根，故此選項錯誤；

③若b=2a+3c，那么△=b²-4ac=（2a+3c）²-4ac=（2a+2c）²+5c²，
當a≠0，c=-a時，△＞0；當a≠0，c=0時，△＞0；當a≠c≠0時，△＞0，
∴△＞0，故此選項正確；

④∵關于x的一元二次方程mx²-4x+4=0與x²-4mx+4m²-4m-5=0有解，
則m≠0，
∴△≥0
mx²-4x+4=0，
∴△=16-16m≥0，即m≤1；
x²-4mx+4m²-4m-5=0，
△=16m²-16m²+16m+20≥0，
∴4m+5≥0，m≥-

5

4

；
∴-

5

4

≤m≤1，而m是整數，
所以m=1，m=0（舍去），m=-1（一個為x²-4x+4=0，另一個為x²+4x+3=0，沖突，故舍去），
當m=1時，mx²-4x+4=0即x²-4x+4=0，方程的解是x₁=x₂=2；
x²-4mx+4m²-4m-5=0即x²-4x-5=0，方程的解是x₁=5，x₂=-1；
當m=0時，mx²-4x+4=0時，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去．
故m=1，故此選項錯誤；
故正確的有2個，
故選：B．

點評：此題主要考查了根的判別式以及方程的解，解答此題要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關系，首先根據根的判別式確定m的范圍是解決本題的關鍵．