Question

【題目】如圖所示，二次函數y＝ax2+bx+2的圖象經過點A（4，0），B（﹣4，﹣4），且與y軸交于點C．

（1）請求出二次函數的解析式；

（2）若點M（m，n）在拋物線的對稱軸上，且AM平分∠OAC，求n的值．

（3）若P是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），過P作PQ∥AC，與AB上方的拋物線交于點Q，與x軸交于點H，試問：是否存在這樣的點Q，使PH＝2QH？若存在，請直接出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）2﹣6；（3）存在，點Q（﹣，﹣）或（﹣，）．

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入函數表達式，即可求解；

（2）如圖，過點A作∠A的角平分線交y軸于點M，則由勾股定理得：（2﹣x）2＝x2+（2﹣4）2，解得：x＝4﹣8，即可求解；

（3）確定直線AB、直線PQ的表達式，聯立求得點Q（2﹣2 ，﹣1﹣c+），由PH＝2QH，則P、Q的縱坐標之比也為2，即可求解．

解：（1）將點A、B的坐標代入函數表達式得： ，解得： ，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+2；

（2）如圖，過點A作∠A的角平分線交y軸于點M，交二次函數對稱軸于點G，

過點M作MN⊥AC于點N，二次函數對稱軸交AM、x軸于點G、H，

設：OM＝x＝MN，則AM＝OA＝4，

AC＝2，OC＝2，CM＝2﹣x，CN＝CA﹣AN＝2﹣4，

則由勾股定理得：（2﹣x）2＝x2+（2﹣4）2，解得：x＝4﹣8，

∴GH∥OM，則 ，即： ，

則n＝GH＝x＝2﹣6；

（3）存在，理由：

如圖：

將點B、A的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線AB的表達式為：y＝x﹣2①，

同理直線AC的表達式為：y＝﹣x+2，

∵PQ∥AC，則設直線PQ的表達式為：y＝﹣x﹣c（c＞0）②，

聯立①②并解得：x＝2±2（舍去正值），

故點Q（2﹣2，﹣1﹣c+），

∵PH＝2QH，

∴P、Q的縱坐標之比也為2，

即﹣c﹣1＝±2（﹣1﹣c+），

解得：c＝或，

故點Q（﹣，﹣）或（﹣，）．