Question

【題目】如圖1，將拋物線P1：y1＝x2﹣3右移m個單位長度得到新拋物線P2：y2＝a（x+h）2+k，拋物線P1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線P2與x軸交于A1，B1兩點，與y軸交于點C1．

（1）當m＝1時，a＝　 　，h＝　 　，k＝　 　；

（2）在（1）的條件下，當y1＜y2＜0時，求x的取值范圍；

（3）如圖2，過點C1作y軸的垂線，分別交拋物線P1，P2于D、E兩點，當四邊形A1DEB是矩形時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）；﹣1，﹣3（2）﹣2＜x＜（3）

【解析】

（1）根據平移的坐標特征寫出拋物線平移后得到的解析式，與拋物線P2解析式對應即得到a、h、k的值．

（2）把y1＜y2＜0拆分成兩部分：①求y2＜0時x的取值范圍，先求出拋物線P2與x軸兩交點坐標，由圖象可知在拋物線中間部分在x軸下方，即對應的x范圍；②求y1＜y2時x的取值范圍，先由兩二次函數值相等求得兩拋物線交點橫坐標，根據圖象找出x對應的取值范圍；①②部分要同時成立，即求關于x的兩個不等式組的公共解．

（3）根據平移后圖象上所有點平移的距離相等，都是m，得到AA1＝DC1＝m，由四邊形A1DEB是矩形易證四邊形A1DC1O是矩形，即得到OA＝AA1+OA1＝2m＝3．

解：（1）∵拋物線P1：y1＝x2﹣3右移m個單位長度得到新拋物線解析式為：y2＝（x﹣m）2﹣3

∴y2＝a（x+h）2+k＝（x﹣m）2﹣3

又∵m＝1

∴h＝﹣m＝﹣1

故答案為：；﹣1，﹣3

（2）∵當y2＝（x﹣1）2﹣3＝0時，

解得：x1＝﹣2，x2＝4

∴由圖象可知，當﹣2＜x＜4時，y2＜0

當y1＝y2時， x2﹣3＝（x﹣1）2﹣3

解得：x＝，

∴由圖象可知，當x＜時，y1＜y2

∴當y1＜y2＜0時，x的取值范圍是﹣2＜x＜

（3）當y1＝x2﹣3＝0時，解得：x＝±3

∴A（﹣3，0），OA＝3

根據平移性質得：AA1＝DC1＝m

∵四邊形A1DEB是矩形

∴∠A1DE＝∠DA1B＝90°

∴四邊形A1DC1O是矩形

∴OA1＝DC1＝m

∴OA＝AA1+OA1＝2m＝3

∴m＝