Question

已知在矩形ABCD中，AD＞AB，O為對角線的交點，過O作一直線分別交BC、AD于M、N
（1）求證：S_梯形ABMN=S_梯形CDNM；
（2）當M、N滿足什么條件時，將矩形ABCD以MN為折痕翻折后能使C點恰好與A點重合（只寫出滿足的條件，不要求證明）；
（3）在（2）的條件下，若翻折后不重疊部分的面積是重疊部分面積的

1

2

，求

BM

MC

的值．

Answer 1

分析：（1）連AC、BD交于O，根據四邊形ABCD是矩形可求出△DON≌△BOM，△AON≌△COM，再由梯形的面積即可求解；
（2）根據圖形翻折不變性的性質即可解答；
（3）根據圖形翻折后不重疊部分的面積是重疊部分面積的

1

2

列出關系式，再把三角形面積的比轉化為

BM

MC

的比即可．

解答：（1）證明：如圖（一），連AC、BD交于O，
∵AD∥BC，
∴∠DNM=∠BMN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∵∠BOM=∠DON，
∴△DON≌△BOM，
∴ND=BM，
同理可證△AON≌△COM，
∴AN=MC，
∴AN+ND=BM+MC，
∵AB=CD，
∴S_梯形ABMN=S_梯形CDNM；

（2）解：如圖（二），
∵當A點與C點重合時，△AMO≌△CMO，
∴MN⊥AC，這是MN應滿足的條件；

（3）解：如圖（二），
∵AB=CD=AD′，
∵∠BAM+∠MAN=90°，∠MAN+∠NAD′=90°，
∴∠BAM=∠NAD′，又∠B=∠D′=90°，
∴△ABM≌△AD′N，
∴△ABM和△AD′N的面積相等，MC=AM=AN，
∵重疊部分是△AMN，不重疊部分是△ABM和△AD′N．
∴

S△ABM+S△AD′N

S△AMN

=

1

2

，即

2× 1 2 AB•BM

1 2 AB•AN

=

1

2

，
故

BM

MC

=

1

4

．

點評：本題考查的是圖形翻折變換的性質、梯形的面積公式及三角形的面積，熟知以上知識是解答此題的關鍵．